这篇只解决一个问题：题目给你一个集合 $S$，怎么快速证明它 不是 vector space。

重点不是把十条公理背一遍，而是学会找一个反例。一个反例就够了。

0. 先把结论说人话

Vector space 最重要的感觉是：

你在集合里做正常向量操作，结果还应该留在集合里。

这里的“正常向量操作”主要是两件事：

1. scalar multiplication：把向量乘一个数，例如 $2v$、-v、0v。
2. vector addition：两个向量相加，例如 $u+v$。

所以要证明一个集合 不是 vector space，最爽的方法就是找一个操作让它“跑出去”：

记住这句话：

证明“是”要检查很多东西；证明“不是”只要抓到一个失败点。

1. 什么叫 $v\in S$？

很多人卡在符号，其实非常机械。

如果题目写：

那 $v\in S$ 的意思就是：

把 $v$ 的三个坐标代进 $2x_1+3x_2^3-4x_3^2$，结果等于 $0$。

如果结果不是 $0$，那就是 $v\notin S$。

所以这种题不用想得太玄。它就是“代入检查”。

2. 例题 1：用数乘把它踢出去

题目：

Show that $S$ is not a vector space.

第一步：找一个在 $S$ 里的向量

老师取：

我们先验证它真的在 $S$ 里。把 $x_1=2,\ x_2=0,\ x_3=1$ 代进去：

所以：

第二步：把它乘以 2

现在检查 $2v$ 还在不在 $S$：

这不是 $0$，所以：

结论怎么写？

因为 $v\in S$，但 $2v\notin S$，所以 $S$ is not closed under scalar multiplication。

于是：

为什么老师会想到 $(2,0,1)$？

不是玄学，是在凑数。

原条件是：

想找一个简单向量，就先让中间那项消失：

再取一个简单的：

条件就变成：

所以：

于是自然得到：

这就是找反例的常见套路：把变量设成 $0$ 或 $1$，让式子尽量简单。

3. 例题 2：用加法把它踢出去

题目：

Find two non-zero elements of $S$ and show $S$ is not closed under vector addition.

先看条件到底在说什么

两个东西相乘等于 $0$，所以至少有一个是 $0$：

或者：

也就是：

或者：

所以 $S$ 不是一个单纯的平面，而像是两块条件拼在一起：

• 一块是所有满足 $a=b$ 的向量；
• 另一块是所有满足 $c=0$ 的向量。

第一步：从两块里各拿一个向量

取：

验证 $u\in S$：

验证 $w\in S$：

所以 $u,w\in S$。

第二步：把它们相加

现在检查这个和还在不在 $S$：

不是 $0$，所以：

结论怎么写？

因为 $u,w\in S$，但 $u+w\notin S$，所以 $S$ is not closed under vector addition。

于是：

4. 一眼识别：什么时候优先怀疑它不是 vector space？

看到下面这些东西，要立刻警觉：

但注意：这只是“怀疑”。考试证明还是要写出具体反例。

5. 考试可直接抄的模板

模板 A：数乘不封闭

模板 B：加法不封闭

模板 C：零向量不在集合里

6. 怎么自己找反例？

按这个顺序试：

1. 先代零向量。零向量不在，直接结束。
2. 如果有平方/立方，试找一个 $v\in S$，再试 $2v$。
3. 如果有乘积等于 $0$，试从两个分支各拿一个向量，再相加。
4. 如果题目条件很复杂，就先把一些变量设成 $0$ 或 $1$，让式子变简单。

这就是这节课真正想训练的东西：不是背答案，而是会制造一个会跑出集合的向量。

7. 自测题

自测 1

证明 $S$ 不是 vector space。

答案：

取：

因为：

所以 $v\in S$。

但：

而：

所以 $2v\notin S$。因此 $S$ is not closed under scalar multiplication，不是 vector space。

自测 2

证明 $S$ 不是 vector space。

答案：

取：

因为两个向量都满足 $xy=0$，所以 $u,v\in S$。

但：

此时：

所以 $u+v\notin S$。因此 $S$ is not closed under vector addition，不是 vector space。

8. 最后一口气版总结

证明集合不是 vector space，不要硬查全部公理。

你只需要找一个失败点：

• $\mathbf{0}\notin S$；
• 或者 $v\in S$ 但 $kv\notin S$；
• 或者 $u,v\in S$ 但 $u+v\notin S$。

例题 1 用的是数乘不封闭：$(2,0,1)\in S$，但 $2(2,0,1)\notin S$。

例题 2 用的是加法不封闭：$(1,1,1),(1,2,0)\in S$，但它们的和 $(2,3,1)\notin S$。

一句话：

找到一个会跑出去的向量，题就结束了。