这篇只解决一个问题：为什么

$$S=\{t\mathbf v:0\le t\le 10\}$$

这种“从原点出发的一段线段”不是 vector subspace。

你不用背一整页公理。考试里只要抓住一个失败点：scalar multiplication 不封闭。

0. 题目在说什么？

题目：

Show that the line segment

is not a vector subspace.

先翻译成人话：

• $\mathbf v$ 是一个固定方向；
• $t\mathbf v$ 表示沿着这个方向走；
• $0\le t\le 10$ 表示只能从 $0\mathbf v$ 走到 $10\mathbf v$；
• 所以 $S$ 不是整条无限长直线，而是一条有限线段。

如果把它想象成数轴上的一段，就是：

以及中间所有小数倍的位置。

1. 子空间最怕什么？

如果 $S$ 是 $\mathbb R^3$ 的 vector subspace，它至少必须满足：

这题里面，零向量其实在：

因为 $0\le 0\le 10$。

所以不能用“零向量不在”秒杀。

老师用的是第二种思路：

找一个 $x\in S$，但让某个 scalar multiple $kx\notin S$。

这就叫：

2. 先别被符号绕晕：集合参数和外部倍数不一样

这题最容易混的是同一个希腊字母到处飞。

我建议你考试时心里分清楚两层：

也就是说：

1. 先找一个集合里的向量 $x=t\mathbf v$。
2. 再用一个外部 scalar $k$ 去乘它。
3. 检查 $kx$ 还能不能写成 $s\mathbf v$，并且满足 $0\le s\le 10$。

如果不能，它就跑出 $S$ 了。

3. 老师的反例：先选一个在集合里的向量

取：

因为 $1$ 在 $0$ 和 $10$ 之间：

所以：

这一步非常重要：你要先证明自己选的东西真的在集合里。

4. 现在把它乘以 11

如果 $S$ 真的是 vector subspace，那么 $x\in S$ 以后，任何实数倍都应该还在 $S$。

老师取：

于是：

但 $11\mathbf v$ 要在 $S$ 里，就必须能写成 $t\mathbf v$，并且满足：

这里的系数已经是 $11$：

所以：

5. 结论怎么写？

我们已经找到：

但：

所以：

因此：

这题到这里就结束了。

6. 为什么能想到乘 11？

不是玄学。

集合 $S$ 只允许：

这句话等价于：

系数最多只能到 $10$。

所以你只要把一个在里面的向量放大到系数超过 $10$，它就会掉出去。

最舒服的选择就是：

然后乘：

得到：

如果你想更快，其实也可以乘 $-1$：

因为系数 $-1<0$，也不在 $0\le t\le 10$ 里面。

但视频里用 $11$，我们就按老师的版本写。

7. 这题的本质：线段不是整条直线

一个真正的一维子空间应该长这样：

这里的 $t$ 可以是任何实数：

所以整条直线可以被随便放大、缩小、反向。

但题目里的：

只是一段有限线段。

它有两个端点：$0\mathbf v$ 和 $10\mathbf v$。

一旦你把里面的点继续往外拉，例如 $11\mathbf v$，它就不在这段线段上了。

8. 考试可直接抄的版本

如果要写得更数学一点：

since $0\le 1\le 10$. But

since $11>10$. Hence $S$ is not closed under scalar multiplication, so $S$ is not a vector subspace of $\mathbb R^3$.

9. 初学者检查清单

遇到

这种题，按三步走：

1. 看它是不是只给了一个有限区间。
2. 先取一个在区间里的简单数，例如 $t=1$ 或 $t=0$。
3. 用一个 scalar 把它乘到区间外，例如超过上界，或者变成负数。

只要你写出：

就能证明它不是 subspace。

10. 自测题

自测 1

设：

证明 $S$ 不是 vector subspace。

答案：

取 $x=\mathbf v=1\mathbf v$。因为 $-2\le 1\le 2$，所以 $x\in S$。

但：

系数 $3$ 不满足 $-2\le 3\le 2$，所以 $3x\notin S$。

因此 $S$ is not closed under scalar multiplication，不是 vector subspace。

自测 2

设：

证明 $S$ 不是 vector subspace。

答案：

取 $x=\mathbf v=1\mathbf v$。因为 $1\ge 0$，所以 $x\in S$。

但：

这对应的系数是 $-1$，不满足 $t\ge 0$，所以 $-x\notin S$。

因此 $S$ is not closed under scalar multiplication，不是 vector subspace。

11. 最后一口气版总结

这节课的核心只有一句：

有限线段不是 vector subspace，因为 subspace 不能有“只能从 0 到 10”这种边界。

本题标准反例：

但：

所以 $S$ is not closed under scalar multiplication。

一旦 scalar multiplication 不封闭，它就不是 vector subspace。