一条线段为什么不是向量子空间：MATH1231 子空间反例速通

这篇只解决一个问题：为什么
$S=\{t\mathbf v:0\le t\le 10\}$
这种“从原点出发的一段线段”不是 vector subspace。
你不用背一整页公理。考试里只要抓住一个失败点：scalar multiplication 不封闭。

0. 题目在说什么？

题目：

\mathbf v=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\in\mathbb R^3.

Show that the line segment

S=\{t\mathbf v:0\le t\le 10\}

is not a vector subspace.

先翻译成人话：

$\mathbf v$ 是一个固定方向；
$t\mathbf v$ 表示沿着这个方向走；
$0\le t\le 10$ 表示只能从 $0\mathbf v$ 走到 $10\mathbf v$ ；
所以 $S$ 不是整条无限长直线，而是一条有限线段。

如果把它想象成数轴上的一段，就是：

0\mathbf v,\ 1\mathbf v,\ 2\mathbf v,\ \ldots,\ 10\mathbf v

以及中间所有小数倍的位置。

1. 子空间最怕什么？

如果 $S$ 是 $\mathbb R^3$ 的 vector subspace，它至少必须满足：

必须满足的条件	意思
zero vector in $S$	零向量要在集合里
closed under vector addition	两个集合里的向量相加，还要在集合里
closed under scalar multiplication	集合里的向量乘任何实数，还要在集合里

这题里面，零向量其实在：

0\mathbf v=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\in S,

因为 $0\le 0\le 10$ 。

所以不能用“零向量不在”秒杀。

老师用的是第二种思路：

找一个 $x\in S$ ，但让某个 scalar multiple $kx\notin S$ 。

这就叫：

S\text{ is not closed under scalar multiplication.}

2. 先别被符号绕晕：集合参数和外部倍数不一样

这题最容易混的是同一个希腊字母到处飞。

我建议你考试时心里分清楚两层：

符号	作用
$t$	用来描述集合里的点：$t\mathbf v$，其中 $0\le t\le 10$
$k$	你拿来做 scalar multiplication 的外部倍数，可以是任何实数

也就是说：

先找一个集合里的向量 $x=t\mathbf v$ 。
再用一个外部 scalar $k$ 去乘它。
检查 $kx$ 还能不能写成 $s\mathbf v$ ，并且满足 $0\le s\le 10$ 。

如果不能，它就跑出 $S$ 了。

3. 老师的反例：先选一个在集合里的向量

取：

x=\mathbf v=1\mathbf v.

因为 $1$ 在 $0$ 和 $10$ 之间：

0\le 1\le 10,

所以：

x=\mathbf v\in S.

这一步非常重要：你要先证明自己选的东西真的在集合里。

4. 现在把它乘以 11

如果 $S$ 真的是 vector subspace，那么 $x\in S$ 以后，任何实数倍都应该还在 $S$ 。

老师取：

k=11.

于是：

kx=11x=11\mathbf v.

但 $11\mathbf v$ 要在 $S$ 里，就必须能写成 $t\mathbf v$ ，并且满足：

0\le t\le 10.

这里的系数已经是 $11$ ：

11>10.

所以：

11\mathbf v\notin S.

5. 结论怎么写？

我们已经找到：

x\in S,

但：

11x\notin S.

所以：

S\text{ is not closed under scalar multiplication.}

因此：

S\text{ is not a vector subspace of }\mathbb R^3.

这题到这里就结束了。

6. 为什么能想到乘 11？

不是玄学。

集合 $S$ 只允许：

0\le t\le 10.

这句话等价于：

系数最多只能到 $10$ 。

所以你只要把一个在里面的向量放大到系数超过 $10$ ，它就会掉出去。

最舒服的选择就是：

x=1\mathbf v\in S.

然后乘：

11.

得到：

11x=11\mathbf v\notin S.

如果你想更快，其实也可以乘 $-1$ ：

-x=-\mathbf v,

因为系数 $-1<0$ ，也不在 $0\le t\le 10$ 里面。

但视频里用 $11$ ，我们就按老师的版本写。

7. 这题的本质：线段不是整条直线

一个真正的一维子空间应该长这样：

L=\{t\mathbf v:t\in\mathbb R\}.

这里的 $t$ 可以是任何实数：

\ldots,\ -2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2,\ 11,\ 100,\ \ldots

所以整条直线可以被随便放大、缩小、反向。

但题目里的：

S=\{t\mathbf v:0\le t\le 10\}

只是一段有限线段。

它有两个端点：$0\mathbf v$ 和 $10\mathbf v$ 。

一旦你把里面的点继续往外拉，例如 $11\mathbf v$ ，它就不在这段线段上了。

8. 考试可直接抄的版本

Loading code block...

如果要写得更数学一点：

x=\mathbf v=1\mathbf v\in S

since $0\le 1\le 10$ . But

11x=11\mathbf v\notin S

since $11>10$ . Hence $S$ is not closed under scalar multiplication, so $S$ is not a vector subspace of $\mathbb R^3$ .

9. 初学者检查清单

遇到

S=\{t\mathbf v:a\le t\le b\}

这种题，按三步走：

看它是不是只给了一个有限区间。
先取一个在区间里的简单数，例如 $t=1$ 或 $t=0$ 。
用一个 scalar 把它乘到区间外，例如超过上界，或者变成负数。

只要你写出：

x\in S,\qquad kx\notin S,

就能证明它不是 subspace。

10. 自测题

自测 1

设：

S=\{t\mathbf v:-2\le t\le 2\}.

证明 $S$ 不是 vector subspace。

答案：

取 $x=\mathbf v=1\mathbf v$ 。因为 $-2\le 1\le 2$ ，所以 $x\in S$ 。

但：

3x=3\mathbf v.

系数 $3$ 不满足 $-2\le 3\le 2$ ，所以 $3x\notin S$ 。

因此 $S$ is not closed under scalar multiplication，不是 vector subspace。

自测 2

设：

S=\{t\mathbf v:t\ge 0\}.

证明 $S$ 不是 vector subspace。

答案：

取 $x=\mathbf v=1\mathbf v$ 。因为 $1\ge 0$ ，所以 $x\in S$ 。

但：

-x=-\mathbf v.

这对应的系数是 $-1$ ，不满足 $t\ge 0$ ，所以 $-x\notin S$ 。

因此 $S$ is not closed under scalar multiplication，不是 vector subspace。

11. 最后一口气版总结

这节课的核心只有一句：

有限线段不是 vector subspace，因为 subspace 不能有“只能从 0 到 10”这种边界。

本题标准反例：

x=\mathbf v=1\mathbf v\in S,

但：

11x=11\mathbf v\notin S.

所以 $S$ is not closed under scalar multiplication。

一旦 scalar multiplication 不封闭，它就不是 vector subspace。

这篇只解决一个问题：为什么
$S=\{t\mathbf v:0\le t\le 10\}$
这种“从原点出发的一段线段”不是 vector subspace。
你不用背一整页公理。考试里只要抓住一个失败点：scalar multiplication 不封闭。

0. 题目在说什么？

题目：

\mathbf v=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\in\mathbb R^3.

Show that the line segment

S=\{t\mathbf v:0\le t\le 10\}

is not a vector subspace.

先翻译成人话：

$\mathbf v$ 是一个固定方向；
$t\mathbf v$ 表示沿着这个方向走；
$0\le t\le 10$ 表示只能从 $0\mathbf v$ 走到 $10\mathbf v$ ；
所以 $S$ 不是整条无限长直线，而是一条有限线段。

如果把它想象成数轴上的一段，就是：

0\mathbf v,\ 1\mathbf v,\ 2\mathbf v,\ \ldots,\ 10\mathbf v

以及中间所有小数倍的位置。

1. 子空间最怕什么？

如果 $S$ 是 $\mathbb R^3$ 的 vector subspace，它至少必须满足：

必须满足的条件	意思
zero vector in $S$	零向量要在集合里
closed under vector addition	两个集合里的向量相加，还要在集合里
closed under scalar multiplication	集合里的向量乘任何实数，还要在集合里

这题里面，零向量其实在：

0\mathbf v=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\in S,

因为 $0\le 0\le 10$ 。

所以不能用“零向量不在”秒杀。

老师用的是第二种思路：

找一个 $x\in S$ ，但让某个 scalar multiple $kx\notin S$ 。

这就叫：

S\text{ is not closed under scalar multiplication.}

2. 先别被符号绕晕：集合参数和外部倍数不一样

这题最容易混的是同一个希腊字母到处飞。

我建议你考试时心里分清楚两层：

符号	作用
$t$	用来描述集合里的点：$t\mathbf v$，其中 $0\le t\le 10$
$k$	你拿来做 scalar multiplication 的外部倍数，可以是任何实数

也就是说：

先找一个集合里的向量 $x=t\mathbf v$ 。
再用一个外部 scalar $k$ 去乘它。
检查 $kx$ 还能不能写成 $s\mathbf v$ ，并且满足 $0\le s\le 10$ 。

如果不能，它就跑出 $S$ 了。

3. 老师的反例：先选一个在集合里的向量

取：

x=\mathbf v=1\mathbf v.

因为 $1$ 在 $0$ 和 $10$ 之间：

0\le 1\le 10,

所以：

x=\mathbf v\in S.

这一步非常重要：你要先证明自己选的东西真的在集合里。

4. 现在把它乘以 11

如果 $S$ 真的是 vector subspace，那么 $x\in S$ 以后，任何实数倍都应该还在 $S$ 。

老师取：

k=11.

于是：

kx=11x=11\mathbf v.

但 $11\mathbf v$ 要在 $S$ 里，就必须能写成 $t\mathbf v$ ，并且满足：

0\le t\le 10.

这里的系数已经是 $11$ ：

11>10.

所以：

11\mathbf v\notin S.

5. 结论怎么写？

我们已经找到：

x\in S,

但：

11x\notin S.

所以：

S\text{ is not closed under scalar multiplication.}

因此：

S\text{ is not a vector subspace of }\mathbb R^3.

这题到这里就结束了。

6. 为什么能想到乘 11？

不是玄学。

集合 $S$ 只允许：

0\le t\le 10.

这句话等价于：

系数最多只能到 $10$ 。

所以你只要把一个在里面的向量放大到系数超过 $10$ ，它就会掉出去。

最舒服的选择就是：

x=1\mathbf v\in S.

然后乘：

11.

得到：

11x=11\mathbf v\notin S.

如果你想更快，其实也可以乘 $-1$ ：

-x=-\mathbf v,

因为系数 $-1<0$ ，也不在 $0\le t\le 10$ 里面。

但视频里用 $11$ ，我们就按老师的版本写。

7. 这题的本质：线段不是整条直线

一个真正的一维子空间应该长这样：

L=\{t\mathbf v:t\in\mathbb R\}.

这里的 $t$ 可以是任何实数：

\ldots,\ -2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2,\ 11,\ 100,\ \ldots

所以整条直线可以被随便放大、缩小、反向。

但题目里的：

S=\{t\mathbf v:0\le t\le 10\}

只是一段有限线段。

它有两个端点：$0\mathbf v$ 和 $10\mathbf v$ 。

一旦你把里面的点继续往外拉，例如 $11\mathbf v$ ，它就不在这段线段上了。

8. 考试可直接抄的版本

TEXT

Take x = v = 1v. Since 0 <= 1 <= 10, we have x in S.

However, 11x = 11v. This is not in S, since the coefficient 11 does not satisfy 0 <= 11 <= 10.

Therefore S is not closed under scalar multiplication. Hence S is not a vector subspace of R^3.

Loading code block...

如果要写得更数学一点：

x=\mathbf v=1\mathbf v\in S

since $0\le 1\le 10$ . But

11x=11\mathbf v\notin S

since $11>10$ . Hence $S$ is not closed under scalar multiplication, so $S$ is not a vector subspace of $\mathbb R^3$ .

9. 初学者检查清单

遇到

S=\{t\mathbf v:a\le t\le b\}

这种题，按三步走：

看它是不是只给了一个有限区间。
先取一个在区间里的简单数，例如 $t=1$ 或 $t=0$ 。
用一个 scalar 把它乘到区间外，例如超过上界，或者变成负数。

只要你写出：

x\in S,\qquad kx\notin S,

就能证明它不是 subspace。

10. 自测题

自测 1

设：

S=\{t\mathbf v:-2\le t\le 2\}.

证明 $S$ 不是 vector subspace。

答案：

取 $x=\mathbf v=1\mathbf v$ 。因为 $-2\le 1\le 2$ ，所以 $x\in S$ 。

但：

3x=3\mathbf v.

系数 $3$ 不满足 $-2\le 3\le 2$ ，所以 $3x\notin S$ 。

因此 $S$ is not closed under scalar multiplication，不是 vector subspace。

自测 2

设：

S=\{t\mathbf v:t\ge 0\}.

证明 $S$ 不是 vector subspace。

答案：

取 $x=\mathbf v=1\mathbf v$ 。因为 $1\ge 0$ ，所以 $x\in S$ 。

但：

-x=-\mathbf v.

这对应的系数是 $-1$ ，不满足 $t\ge 0$ ，所以 $-x\notin S$ 。

因此 $S$ is not closed under scalar multiplication，不是 vector subspace。

11. 最后一口气版总结

这节课的核心只有一句：

有限线段不是 vector subspace，因为 subspace 不能有“只能从 0 到 10”这种边界。

本题标准反例：

x=\mathbf v=1\mathbf v\in S,

但：

11x=11\mathbf v\notin S.

所以 $S$ is not closed under scalar multiplication。

一旦 scalar multiplication 不封闭，它就不是 vector subspace。